算法概念之贝塞尔曲线

贝塞尔曲线(The Bézier Curves),是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线(2D,3D的称为曲面)。贝塞尔曲线于1962年,由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

线性曲线
给定点P0、P1,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:



当参数t变化时,其过程如下:



线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B(t)所描述的曲线。例如当t=0.25时,B(t)即一条由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t,B(t)描述一条由P0至P1的直线。
二次曲线
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪:



为建构二次贝塞尔曲线,可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t:
* 由P0至P1的连续点Q0,描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由P1至P2的连续点Q1,描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由Q0至Q1的连续点B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。
二次曲线看起来就是这样的:



三次曲线
为建构高阶曲线,便需要相应更多的中介点。对于三次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2,和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1,并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距,决定了曲线在转而趋进P3之前,走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为:



看起来就是这样的:



高阶曲线
更高阶的贝塞尔曲线,可以用以下公式表示:
表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有:



更多的关于贝塞尔曲线的内容,你可以去查阅各种数学书。加油,求知的骚年。
应用
在几乎所有的高级图像软件中,均使用到了三次贝塞尔曲线来实现“平滑曲线”绘制功能。例如Photoshop中的“钢笔”,CoralDraw中的“贝塞尔工具”,Fireworks中的“画笔”。

在编程中实现
计算机绘图
要“画”出贝塞尔曲线,一般需要进行较多的计算,然后绘制出来,类似这样:



绘制的代码可以在各类计算机图形学书籍中找到。

 

在.NET中提供了绘制贝塞尔曲线的方法

http://msdn.microsoft.com/zh-cn/library/vstudio/system.drawing.graphics.drawbezier(v=vs.80).aspx这里有详细介绍。

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